Bevor man einen statistischen Test auswählt, sollte man nicht zuerst an einen bestimmten Test denken. Besser ist es, mit der Forschungsfrage zu beginnen:
Was möchte ich über meine Daten wissen?
Statistik hilft dabei, Daten so zu ordnen, zu beschreiben und zu prüfen, dass aus einzelnen Messwerten eine begründete Aussage wird. Wichtig ist dabei: Statistik ersetzt nicht das Denken. Sie hilft nur dabei, eine gut formulierte Frage sauber zu beantworten.
Statistik ist der Teil der Mathematik, der benutzt wird, wenn wir nicht genau wissen, was passiert (wenn das Ergebnis variabel ist). Beispiel: Ich fahre zur Arbeit. Der reine Fahrtweg beträgt 20 Minuten. Komme ich wirklich in 20 Minuten bei der Arbeit an? Das hängt Wahrscheinlich von einer Vielzahl von Faktoren ab: Stau, Wetter, Grünzeiten der Ampel, etc. Das Beispiel soll illustrieren, dass in den meisten Alltagssituationen Ergebniss nicht immer gleich sondern variabel sind. Diese Variabilität führt dazu, dass wir uns nicht der Genauigkeit des Ereignisses (z.B. wann ich ankomme) nicht ganz sicher sind. Wenn wir eine Vorhersage machen, so werden wir aufgrund unserer Erfahrung wahrscheinlich ziemlich nah an dem Ereignis liegen, aber oftmals haben wir keine "Punktlandung". Wir werden wahrscheinlich etwas mit unserer Beschreibung des Ereignisses daneben liegen, d.h. wir werden einen Fehler haben. Das ist wichtig zu erkennen. Mit diesem Wissen können wir nämlich den Fehler nutzen, um unsere Beschreibung zu bewerten. Der Fehler gibt uns Auskunft darüber wie "gut" unsere Beschreibung ist: Große Fehler geben an, dass unsere Beschreibung noch besser sein kann und ein kleiner Fehler gibt an dass unsere Beschreibung noch besser sein kann. Der Grund für eine schlechte Beschreibung liegt aber nicht immer in der Beschreibung selbst. Es kann z.B. auch daran liegen, dass die Ereignisse generell sehr variabel sind und daher schwierig zu beschreiben sind.
In der psychologischen Wissenschaft trifft all das auch zu. Personen verhalten sich nicht immer gleich, sondern ihr Verhalten varriert (aus welchen Gründen auch immer). Wir messen zum Beispiel Stress, Wohlbefinden, Reaktionszeit, Symptomstärke oder Therapieerfolg. Diese Messwerte können zufällig schwanken. Eine Person schläft schlecht, eine andere versteht eine Frage anders, eine dritte hat zufällig einen besonders guten Tag.
Statistik hilft dabei, in solchen variablen Daten, Muster von den Schwankung/Variabilität zu trennen, um festzustellen, ob es Muster in den variablen Daten gibt. Diese Aufgabe wird oftmals einfacher je weniger Schwankungen (Variabilität) es in den Daten gibt und/oder je "größer" das Muster ist. Deshalb wird das Signal (Muster) zu Rauschen (Schwankungen/Variabilität) Verhältnis (engl. Signal-to-noise Ratio) oft dazu genutzt um festzustellen, ob ein Muster vorliegt: ist es hoch, dann liegt ein Muster vor. Man kann sich dies ähnlich einer verschmierten Brille vorstellen mit der man versucht einen kleingedruckten Text zu lesen. Die Verschmierung ist das Rauschen/Variabilität/Schwankungen und der Text ist das Signal. Ist die Brille zu verschmiert kann ich das Muster nicht mehr erkennen und den Text nicht mehr lesen.
Statistik hat daher drei zentrale Aufgaben:
Ein einfacher Gedanke ist:
Daten sind einzelne Beobachtungen. Statistik versucht herauszufinden, ob darin ein verlässliches Muster steckt.
Ein Datenpunkt ist ein einzelner gemessener Wert. Wenn eine Person zum Beispiel einen Stresswert von 7 angibt, ist diese 7 ein Datenpunkt.
Eine Variable ist eine Sammlung solcher Datenpunkte zu demselben Merkmal. Wenn 100 Personen ihren Stress angeben, entsteht daraus die Variable Stress.
Beispiele für Variablen:
In einer Datentabelle steht meistens jede Person oder Beobachtung in einer Zeile. Jede Variable steht in einer Spalte.
| Person | Alter | Gruppe | Stress |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | Therapie | 6 |
| 2 | 31 | Kontrolle | 8 |
| 3 | 28 | Therapie | 5 |
Die Spalte Stress ist eine Variable. Der Wert 6 bei Person 1 ist ein Datenpunkt.
In vielen Analysen unterscheidet man zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen.
Die abhängige Variable, kurz AV, ist die Variable, die erklärt, vorhergesagt oder verglichen werden soll. Sie ist meist das eigentliche Ergebnis der Untersuchung.
Die unabhängige Variable, kurz UV, ist die Variable, mit der man Unterschiede oder Zusammenhänge erklären möchte.
Beispiel:
Führt eine Therapie zu weniger Stress?
Dann ist:
Ein anderes Beispiel:
Hängt Neurotizismus mit Burnout zusammen?
Dann ist:
In der Regression nennt man eine UV häufig Prädiktor, weil sie zur Vorhersage der AV genutzt wird.
Das Skalenniveau beschreibt, welche Art von Information in einer Variable steckt. Es entscheidet mit darüber, welche statistischen Verfahren sinnvoll sind.
Nominale Variablen unterscheiden nur Kategorien. Man kann sagen, ob zwei Werte gleich oder ungleich sind, aber nicht, ob einer größer ist.
Beispiele:
Eine dichotome Variable ist ein Spezialfall nominaler Variablen mit genau zwei Kategorien, zum Beispiel 0 = nein und 1 = ja.
Ordinale Variablen haben eine Reihenfolge. Man weiß, was mehr oder weniger ist. Die Abstände zwischen den Stufen müssen aber nicht gleich groß sein.
Beispiele:
Wichtig: Einzelne Likert-Items sind technisch ordinal. Wenn aber mehrere Items zu einer Skala zusammengefasst werden, zum Beispiel durch Mittelwertbildung, wird diese Skala in vielen Anwendungen als quasi-kontinuierlich behandelt.
Intervallskalierte oder kontinuierliche Variablen erlauben Aussagen über Abstände. Man kann sinnvoll Mittelwerte berechnen.
Beispiele:
Verhältnisskalierte Variablen haben zusätzlich einen echten Nullpunkt. Null bedeutet, dass nichts von dem gemessenen Merkmal vorhanden ist.
Beispiele:
In der Praxis werden intervallskalierte und verhältnisskalierte Variablen oft gemeinsam als metrisch, kontinuierlich oder quasi-kontinuierlich bezeichnet.
Zentrale Kennzeichnungsmaße beschreiben, wo die Mitte einer Verteilung liegt.
Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller Werte.
Beispiel:
Stresswerte: 4, 5, 6, 7
Mittelwert:
mean(c(4, 5, 6, 7))Der Mittelwert ist leicht verständlich, aber empfindlich gegenüber Ausreißern. Wenn ein Wert extrem hoch oder niedrig ist, kann er den Mittelwert stark verändern.
Der Median ist der Wert, der genau in der Mitte liegt, wenn alle Werte sortiert werden.
Beispiel:
Werte: 2, 3, 4, 100
Der Mittelwert ist stark durch 100 beeinflusst. Der Median bleibt robuster.
Der Median ist besonders nützlich, wenn Daten schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten.
Der Modus ist der häufigste Wert.
Beispiel:
Werte: 1, 2, 2, 3, 4
Der Modus ist 2.
Der Modus ist besonders bei nominalen Variablen sinnvoll, zum Beispiel bei der häufigsten Diagnosegruppe.
Kennzeichnungsmaße der Mitte reichen nicht aus. Zwei Gruppen können denselben Mittelwert haben, aber völlig unterschiedlich streuen.
Streuung beschreibt, wie stark Werte auseinanderliegen.
Beispiel:
Gruppe A: 5, 5, 5, 5 Gruppe B: 1, 3, 7, 9
Beide Gruppen können einen ähnlichen Mittelwert haben, aber Gruppe B streut stärker.
Die Varianz beschreibt die durchschnittliche quadrierte Abweichung der Werte vom Mittelwert.
Vereinfacht gesagt:
Varianz sagt, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt sind.
Warum quadriert man Abweichungen? Weil positive und negative Abweichungen sich sonst gegenseitig aufheben würden.
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Sie ist oft leichter zu interpretieren, weil sie wieder in der ursprünglichen Einheit der Variable angegeben wird.
Wenn Stress auf einer Skala von 1 bis 10 gemessen wird, ist auch die Standardabweichung in dieser Skalenlogik interpretierbar.
Der Standardfehler beschreibt, wie genau ein Kennwert, zum Beispiel ein Mittelwert, geschätzt wurde.
Ein kleiner Standardfehler bedeutet: Der geschätzte Wert ist relativ präzise. Ein großer Standardfehler bedeutet: Der geschätzte Wert ist unsicherer.
In statistischen Modellen bezeichnet der Fehler meist die Abweichung zwischen beobachtetem Wert und vorhergesagtem Wert.
Beispiel:
Eine Regression sagt für eine Person einen Burnout-Wert von 20 vorher. Tatsächlich hat die Person aber 23.
Dann ist der Fehler:
23 - 20 = 3In der Regression nennt man solche Fehler Residuen.
Ein Modell ist besser, wenn die Fehler insgesamt kleiner sind.
Ein Faktor ist eine kategoriale unabhängige Variable.
Beispiele:
In R werden kategoriale Variablen oft ausdrücklich als factor gespeichert.
data$Gruppe <- factor(data$Gruppe)Levels sind die Ausprägungen eines Faktors.
Beispiel:
Der Faktor Gruppe in einer Interventionstudie kann zwei Levels haben:
Der Faktor Bedingung innerhalb derselben Studie könnte drei Levels haben:
Ein Prädiktor ist eine Variable, die zur Vorhersage oder Erklärung einer AV verwendet wird. In Regressionsmodellen sind UVs daher Prädiktoren.
Beispiel:
lm(Burnout ~ Neurotizismus, data = dat)Hier ist Neurotizismus der Prädiktor und Burnout die AV.
Ein Between-Faktor unterscheidet verschiedene Personen oder Fälle.
Beispiel:
Eine Person ist entweder in der Therapiegruppe oder in der Kontrollgruppe. Sie ist nicht gleichzeitig in beiden Gruppen.
Das ist ein Between-Design.
Ein Within-Faktor beschreibt Messwiederholungen innerhalb derselben Person.
Beispiel:
Die gleichen Personen werden vor und nach einer Therapie gemessen.
Dann ist Zeitpunkt ein Within-Faktor:
Die Unterscheidung zwischen within und between ist wichtig, weil Messungen innerhalb derselben Person voneinander abhängig sind.
Wenn dieselbe Person mehrfach gemessen wird, darf man diese Messwerte nicht so behandeln, als stammten sie von völlig unterschiedlichen Personen. Sonst wird die Analyse zu optimistisch und kann falsche Schlüsse nahelegen.
Ein statistisches Modell ist eine vereinfachte Beschreibung der Daten.
Man kann sich ein Modell wie eine Landkarte vorstellen. Eine Landkarte ist nicht die Landschaft selbst. Sie lässt vieles weg, zeigt aber die wichtigsten Strukturen. Genauso ist ein statistisches Modell nicht die Wirklichkeit selbst, sondern eine vereinfachte Darstellung eines Musters in den Daten.
Ein sehr einfaches Modell ist:
AV = erklärbarer Anteil + FehlerBei einer Regression sieht das zum Beispiel so aus:
Burnout = Grundniveau + Einfluss von Neurotizismus + FehlerIn R könnte das so aussehen:
lm(Burnout ~ Neurotizismus, data = dat)Die linke Seite der Formel ist die AV. Die rechte Seite enthält die UVs oder Prädiktoren.
Statistische Modellierung ist deshalb nicht nur Rechnen. Sie ist vor allem ein kontrolliertes Übersetzen zwischen Theorie, Daten und Ergebnis.
Ein statistischer Test prüft, ob ein beobachtetes Muster in den Daten stark genug ist, um nicht einfach als Zufallsschwankung abgetan zu werden.
Beispiel:
Eine Therapiegruppe hat nach der Therapie weniger Stress als eine Kontrollgruppe.
Die zentrale Frage ist:
Ist dieser Unterschied so groß, dass er wahrscheinlich nicht nur durch Zufall entstanden ist?
Statistische Tests vergleichen daher meistens zwei Dinge:
Wenn das Muster groß ist im Verhältnis zur Unsicherheit, spricht das eher für einen echten Effekt. Wenn das Muster klein ist oder stark schwankt, ist die Aussage unsicherer.
Viele statistische Tests folgen einer indirekten Logik. Man versucht nicht direkt zu beweisen, dass die eigene Theorie stimmt. Stattdessen prüft man, ob eine Gegenannahme unplausibel wird.
Diese Gegenannahme heißt Nullhypothese.
Die Nullhypothese sagt meistens:
Es gibt keinen Effekt, keinen Unterschied oder keinen Zusammenhang.
Beispiele:
Die Forschungsannahme wäre dagegen:
Es gibt einen Unterschied, Zusammenhang oder Effekt.
Das nennt man oft Alternativhypothese.
Diese Logik hängt mit dem Falsifikationsprinzip zusammen. Wissenschaftliche Aussagen sollen prinzipiell widerlegbar sein. Eine Theorie wird nicht dadurch wissenschaftlich, dass man sie irgendwie passend erklären kann. Sie wird wissenschaftlich, wenn sie ein Risiko eingeht: Sie macht eine Aussage, die durch Daten auch scheitern könnte.
Ein Beispiel:
Die Therapie reduziert Stress.
Diese Aussage ist prüfbar. Wenn die Daten keinen Unterschied zeigen oder die Therapiegruppe sogar mehr Stress hat, wird die Annahme zumindest infrage gestellt.
Statistische Tests prüfen daher meist:
Wären solche Daten unter der Nullhypothese noch plausibel?
Wenn die Daten unter der Nullhypothese sehr unwahrscheinlich wären, verwerfen wir die Nullhypothese. Dann sagen wir: Das Ergebnis ist statistisch signifikant.
Wichtig ist aber:
Ein signifikanter Test beweist nicht endgültig, dass eine Theorie wahr ist. Er zeigt nur, dass die Daten schlecht zur Nullhypothese passen.
Der p-Wert gibt vereinfacht gesagt an, wie überraschend die beobachteten Daten wären, wenn die Nullhypothese stimmt.
Ein kleiner p-Wert bedeutet:
Wenn es wirklich keinen Effekt gäbe, wären solche Daten eher ungewöhnlich.
Das Signifikanzniveau wird häufig auf 0.05 gesetzt. Es wird oft mit dem griechischen Buchstaben Alpha bezeichnet.
Typische Entscheidungsregel:
p <= .05 → statistisch signifikant
p > .05 → nicht statistisch signifikantSignifikant bedeutet nicht automatisch wichtig, groß oder praktisch relevant.
Ein Effekt kann statistisch signifikant, aber praktisch sehr klein sein. Umgekehrt kann ein Effekt inhaltlich interessant sein, aber in einer kleinen Stichprobe nicht signifikant werden.
Deshalb sollte man neben dem p-Wert auch betrachten:
Nicht signifikant bedeutet nicht automatisch, dass es keinen Effekt gibt.
Es bedeutet nur:
Die Daten liefern nicht genug Evidenz, um die Nullhypothese zu verwerfen.
Vielleicht gibt es wirklich keinen Effekt. Vielleicht war aber auch die Stichprobe zu klein, die Messung zu ungenau oder der Effekt schwächer als erwartet.
Statistische Tests beruhen auf Annahmen. Diese Annahmen nennt man Testvoraussetzungen.
Beispiele:
Wenn diese Voraussetzungen stark verletzt sind, kann ein Testergebnis irreführend werden.
Ein Beispiel:
Wenn dieselben Personen mehrfach gemessen werden, die Analyse sie aber wie unabhängige Personen behandelt, wird die Unsicherheit unterschätzt. Das Ergebnis kann dann fälschlich signifikant erscheinen.
Testvoraussetzungen sind also keine Nebensache. Sie schützen davor, aus Daten stärkere Aussagen abzuleiten, als die Daten tatsächlich erlauben.
Statistik beginnt nicht mit dem Test, sondern mit der Forschungsfrage.
Die AV ist das, was erklärt, vorhergesagt oder verglichen werden soll.
Die UV erklärt, sagt vorher oder bildet Gruppen.
Das Skalenniveau entscheidet mit darüber, welches Verfahren sinnvoll ist.
Ein Modell ist eine vereinfachte Beschreibung der Daten.
Fehler oder Residuen zeigen, was das Modell nicht erklären kann.
Statistische Tests prüfen meistens, ob Daten schlecht zur Nullhypothese passen.
Signifikanz ist kein Beweis für Wahrheit und keine Garantie für praktische Relevanz.
Nicht signifikant bedeutet nicht automatisch: Es gibt keinen Effekt.
Gute Statistik bedeutet: Forschungsfrage, Design, Datenstruktur, Modell und Interpretation müssen zusammenpassen.